The essential requirement for this position is that you need to be fluently bilingual.

このポジションに必要不可欠な条件は、二ヶ国語に堪能である必要があることです。

essential：本質的要素、要点、絶対必要な、絶対不可欠な、欠くことのできない
requirement：要求されること、必要条件、必需品
fluently：流ちょうに、スラスラと、
bilingual：二言語使用者、バイリンガルの、二種類の言語を話す

It’s not the heat. It’s the humidity.

問題は暑さではなくて、湿度である。

heat：熱
humidity：湿度

I promised to keep in touch while he went on vacation by email.

彼が休暇中はEメールで連絡を取ることを約束した。

Keep in touch：連絡をとりあう
On vacation：休暇で

Why don’t you just chill out for a while?

しばらく何もせずにブラブラしていたら？

chill out：落ち着く、ブラブラする。

for a while：しばらくの間

The best thing about she is the way he makes everyone feel at ease.

彼女の一番のいい点は、みんなを和ませてくれるところです。

At eaze：楽な姿勢で、のんびりして、気楽に、くつろいで